5. Percentiles, cuantiles y el Value at Risk

Nivel 2: Distribuciones y por qué los mercados no son "normales"

Dos carteras con el mismo Value at Risk. La misma cifra exacta en el informe de riesgo.

En su peor escenario, una pierde 30.000 euros. La otra, 400.000.

La medida más citada de la gestión de riesgo es, por diseño, incapaz de distinguirlas. Y entender por qué empieza por entender qué es un percentil.

Puntos de corte: percentiles, cuantiles, cuartiles

Un percentil es un punto de corte dentro de una distribución. El percentil p es el valor por debajo del cual queda exactamente el p por ciento de las observaciones.

Dos lecturas concretas:

• El percentil 50 es lo que ya conoces como mediana: el valor que deja la mitad de los datos por debajo y la mitad por encima.
• El percentil 10 de los retornos diarios de una acción es el valor tal que el 10 % de los días históricos tuvieron un retorno igual o peor, y el 90 % restante tuvo un retorno mejor.

Los cuantiles son simplemente la misma idea expresada con otra resolución:

• Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales: percentiles 25, 50 y 75.
• Los deciles, en diez partes iguales: percentiles 10, 20, 30...

Percentil, cuantil y cuartil son, en el fondo, la misma herramienta de puntos de corte aplicada con distinto nivel de detalle.

Cómo se calcula un percentil empírico

Calcular un percentil empírico es directo si tienes los datos históricos. Ordenas todos los retornos observados de menor a mayor y buscas el valor que deja el p por ciento de las observaciones por debajo.

Por ejemplo, si tienes 1.000 retornos diarios ordenados de peor a mejor, el percentil 5 es aproximadamente el retorno número 50 de esa lista ordenada, porque 50 es el 5 % de 1.000.

Si ese valor resulta ser -2,3 %, ya sabes dos cosas: el 5 % de los días históricos tuvieron una pérdida de 2,3 % o peor, y el 95 % restante tuvo un resultado mejor que eso.

El VaR es un percentil

Esta idea de percentil es exactamente lo que hay detrás del Value at Risk, o VaR. Es uno de los conceptos de gestión de riesgo más citados en finanzas, y probablemente ya lo oíste mencionar en el curso de teoría de mercados sin entrar en su definición estadística exacta.

El VaR al 95 % a un día de una cartera es, sencillamente, el percentil 5 de la distribución de pérdidas de esa cartera a un día. Es decir, el umbral de pérdida tal que solo se espera que sea superado —que la pérdida real sea aún peor— en el 5 % de los días.

Pongámosle números. Si el VaR al 95 % de una cartera de un millón de euros es de 23.000 euros, la lectura correcta es esta: "en condiciones normales de mercado, no se espera perder más de 23.000 euros en un día en el 95 % de las ocasiones".

Dicho de otro modo: se espera superar esa pérdida, en promedio, uno de cada veinte días.

Histórico o paramétrico

Hay dos formas habituales de calcular el VaR. Conviene distinguirlas, porque no dan siempre el mismo resultado.

El VaR histórico se calcula exactamente como el ejemplo anterior. Se ordenan los retornos, o pérdidas, reales observados en el pasado y se toma directamente el percentil correspondiente de esos datos, sin asumir ninguna forma teórica de distribución.

El VaR paramétrico, en cambio, asume que los retornos siguen una distribución concreta —casi siempre la normal— y calcula el percentil usando la fórmula de esa distribución teórica.

Bajo el supuesto de normalidad, el percentil 5 por la izquierda se encuentra aproximadamente a 1,65 desviaciones estándar por debajo de la media.

Con una cartera de media diaria 0,03 % y desviación estándar diaria 1,4 %, el cálculo queda así: 0,03 % - 1,65 × 1,4 % = -2,28 %. Es decir, una pérdida esperada del 2,28 % en el peor 5 % de los días.

Colas gordas y VaR optimista

Aquí es donde se conecta directamente con lo que viste en el módulo 3.

Si los retornos reales tienen colas más gordas que la normal, el VaR paramétrico calculado bajo el supuesto de normalidad va a subestimar sistemáticamente el riesgo real de pérdidas extremas. Está construido sobre una curva que asigna menos probabilidad a los sucesos extremos de la que realmente existe.

El VaR histórico, al usar directamente los datos observados, captura mejor esa realidad de colas gordas. Pero con una condición: siempre que la muestra histórica utilizada haya incluido periodos de estrés relevantes.

Si solo usas datos de un periodo tranquilo, el VaR histórico también te va a engañar, simplemente por falta de eventos extremos en la muestra.

Lo que el VaR no ve

El VaR tiene, además, una limitación estructural que conviene tener siempre presente. Te dice cuál es el umbral de pérdida en un percentil dado, pero no te dice absolutamente nada sobre qué tan mala puede ser la pérdida una vez que ese umbral se supera.

Volvamos a las dos carteras del principio. Ambas tienen exactamente el mismo VaR al 95 %, 23.000 euros. Y sin embargo:

• Una puede tener pérdidas de "solo" 30.000 euros en su peor escenario dentro de ese 5 % restante.
• La otra puede perder 400.000 euros en un evento de cola verdaderamente extremo.

El VaR, por diseño, es ciego a esa diferencia. Solo mira el punto de corte, no lo que hay más allá de él.

Expected shortfall: mirar dentro de la cola

Para complementar esa limitación existe una medida relacionada llamada expected shortfall, o pérdida esperada condicional, a veces también llamada CVaR.

En lugar de dar solo el umbral, calcula el promedio de las pérdidas dentro de ese peor tramo: por ejemplo, el promedio de todas las pérdidas que están entre el percentil 0 y el percentil 5.

Esta medida sí distingue entre las dos carteras del apartado anterior, porque no se detiene en el punto de corte sino que mira dentro de la cola.

No hace falta que domines su cálculo en detalle en este nivel. Sí conviene que sepas que existe precisamente porque resuelve la pregunta que el VaR deja sin responder: "vale, hay un 5 % de probabilidad de perder más de X, pero si eso pasa, ¿cuánto podría llegar a perder realmente?".