4. La distribución log-normal: por qué los precios no se modelan como una normal
Nivel 2: Distribuciones y por qué los mercados no son "normales"
Un +10 % seguido de un -10 % no te devuelve al punto de partida. Te deja en 99.
Esa pequeña pérdida de un euro no es un redondeo. Es la señal de que los precios no se suman: se multiplican. Y eso cambia la distribución que hay que usar para modelarlos.
Otra pregunta distinta
Hasta ahora has hablado de la distribución de los retornos. Hay una pregunta distinta, igual de relevante: ¿qué forma tiene la distribución de los precios en sí mismos, no de sus variaciones?
La respuesta habitual en finanzas es que los precios se modelan como log-normales, no como normales.
Entender por qué es una de las ideas más útiles de este nivel, porque conecta directamente con cómo se acumulan realmente las ganancias y pérdidas a lo largo del tiempo.
Dos formas de medir un retorno
El primer paso es distinguir dos formas de medir un retorno.
El retorno simple es el que ya conoces. Si una acción pasa de 100 a 103 euros, el retorno simple es 3 %.
El retorno logarítmico, o log-retorno, se calcula de otra manera: tomando el logaritmo natural del cociente entre el precio final y el precio inicial.
Para variaciones pequeñas, su valor numérico es muy parecido al retorno simple. En el ejemplo anterior, el log-retorno sería aproximadamente 2,96 %, muy cercano al 3 % simple.
La diferencia entre ambos se hace más notoria cuanto mayor es el movimiento, y cuanto más largo es el horizonte temporal.
Los log-retornos se suman
La razón por la que los log-retornos son tan útiles es que se pueden sumar directamente a lo largo del tiempo, mientras que los retornos simples no.
Si un activo tiene un log-retorno de 2 % el lunes y de 3 % el martes, su log-retorno acumulado en esos dos días es, aproximadamente, la suma: 5 %.
Con retornos simples esto no funciona igual de limpio. Es el caso del principio: 100 sube a 110, y 110 menos el 10 % son 99, no 100. Los retornos simples se combinan multiplicando, no sumando.
Esta propiedad aditiva de los log-retornos es la que permite aplicar con comodidad ideas como el teorema del límite central, del módulo 6, a la evolución de un precio a lo largo de muchos días.
De la normal en los retornos a la log-normal en el precio
Aquí aparece la conexión con la distribución normal.
Supón que asumes que los log-retornos diarios de un activo siguen, aproximadamente, una distribución normal. Es una aproximación razonable a corto plazo, aunque ya sabes por el módulo 3 que tiene colas más gordas de lo ideal.
Entonces el precio futuro del activo —que es el precio inicial multiplicado por la exponencial de la suma de esos log-retornos— sigue necesariamente una distribución log-normal.
El nombre no es casual. Se llama log-normal precisamente porque es la distribución que tiene el logaritmo del precio siguiendo una normal, aunque el precio en sí mismo no la sigue.
Por qué el precio no puede ser normal
¿Por qué importa esta distinción en la práctica? Porque una distribución normal aplicada directamente al precio tiene un defecto grave.
Es simétrica y se extiende, en teoría, hasta menos infinito. Eso implica asignar una probabilidad —pequeña, pero distinta de cero— a que el precio de la acción sea negativo.
Y eso no tiene sentido económico. El precio de una acción tiene una estructura muy concreta:
- Está acotado por debajo en cero. Como mucho, la empresa quiebra y el valor se hace cero, pero no negativo.
- Puede subir sin un límite superior claro.
La distribución log-normal respeta exactamente esa estructura. Está acotada en cero por la izquierda, nunca genera valores negativos, y tiene una cola larga hacia la derecha.
El motivo de esa cola es puramente multiplicativo: hay mucho más espacio para subir —de 100 a 200 es duplicar— que para bajar, porque de 100 solo se puede bajar hasta 0.
Cómo se ve una log-normal
Un ejemplo numérico ayuda a visualizarlo. Imagina una acción que empieza en 100 euros, con un log-retorno medio anual de, digamos, 8 % y una volatilidad anual considerable.
Simula miles de posibles trayectorias de precio a un año vista bajo el supuesto de log-normalidad. La mediana del precio final puede estar, por ejemplo, en torno a 108 euros. Pero la distribución no será simétrica alrededor de ese valor:
- Habrá una probabilidad no despreciable de terminar por encima de 200 euros: un movimiento fuerte al alza, posible porque multiplicar no tiene techo.
- La posibilidad de terminar por debajo de 50 euros existe, pero está mucho más comprimida.
- Terminar por debajo de cero es sencillamente imposible por construcción.
Esa asimetría hacia arriba, con un suelo firme en cero, es la marca distintiva de la log-normal frente a la simetría perfecta de la normal.
El lastre de la volatilidad
Hay una consecuencia adicional de trabajar con retornos multiplicativos, sutil pero importante.
La media aritmética de una serie de retornos simples no es la que determina cuánto crece realmente tu capital a largo plazo. Lo hace la media geométrica, que siempre es menor o igual que la aritmética cuando hay variabilidad.
Esto se conoce informalmente como lastre de la volatilidad. Míralo con números: si un activo sube 50 % un año y cae 50 % al año siguiente, la media aritmética de esos dos retornos es 0 %.
Pero el capital real ha bajado. 100 sube a 150, luego cae a 75: una pérdida neta del 25 %, no del 0 %.
Cuanto mayor es la volatilidad, mayor es esa brecha entre lo que sugiere el promedio simple y lo que realmente ocurre con el capital compuesto. Un motivo más para trabajar con log-retornos cuando el horizonte temporal es largo.
En resumen
Cuando hables de retornos diarios o de movimientos relativos de corto plazo, la aproximación normal es una herramienta razonable, con sus limitaciones de colas gordas.
Pero cuando hables del nivel de precio en sí, especialmente a horizontes largos, el modelo coherente con la forma en que los precios realmente se componen a lo largo del tiempo es la log-normal, no la normal directa.