6. El teorema del límite central: por qué promediar tiende hacia la normal (y por qué eso no basta)

Nivel 2: Distribuciones y por qué los mercados no son "normales"

Tira un dado. Las seis caras son igual de probables: el gráfico de esa distribución es plano, sin rastro de campana por ningún lado.

Tira treinta dados, quédate con el promedio, y repite el experimento miles de veces. La campana de Gauss aparece de la nada, sin que ningún dado haya dejado de ser un dado.

Ese es el resultado más importante de toda la estadística aplicada. Y también uno de los más fáciles de estirar más allá de lo que dice.

Qué dice exactamente el teorema

El enunciado del teorema del límite central, en palabras, es sorprendentemente simple.

Toma muchas variables aleatorias independientes entre sí y súmalas o promédialas. La distribución de esa suma o ese promedio se va acercando cada vez más a una distribución normal, a medida que aumenta el número de variables que combinas.

Dos matices importantes del enunciado:

• No hace falta que cada variable siga una distribución normal, ni siquiera que se parezcan entre ellas en forma.
• Sí hace falta que cada variable individual tenga una varianza finita. Es decir, que no sea tan extrema que ni siquiera se pueda definir un valor razonable de dispersión.

Los treinta dados

El ejemplo clásico ayuda a que la idea cale.

Lanza un dado de seis caras una sola vez. El resultado sigue una distribución uniforme: cada cara (1, 2, 3, 4, 5, 6) tiene exactamente la misma probabilidad, y el gráfico de esa distribución es plano.

Ahora lanza 30 dados y calcula el promedio de los 30 resultados. Ese promedio ya no se comporta como una uniforme. Tiende a agruparse alrededor de 3,5, que es la media de un dado individual.

Valores como 3,3 o 3,7 son mucho más frecuentes que promedios extremos como 1,5 o 5,5.

Y si repites el experimento de tirar 30 dados y promediar miles de veces, el histograma de esos promedios se parece notablemente a una campana de Gauss. Aunque cada dado individual sea completamente uniforme y nada parecido a una normal.

Aplicado a los mercados

La aplicación a los mercados financieros es directa, gracias a la propiedad aditiva de los log-retornos que viste en el módulo 4.

Un retorno mensual es, aproximadamente, la suma de unos 21 log-retornos diarios. Un retorno anual es la suma de unos 252.

Según el teorema del límite central, cabría esperar que cuantos más días sumes, más se acerque la distribución del retorno agregado a una forma normal. Y eso vale incluso si el retorno diario individual tiene colas gordas y asimetría, como las que viste en el módulo 3.

En la práctica, hasta cierto punto, es lo que se observa. La distribución de los retornos mensuales o anuales de un índice tiende a mostrar una curtosis menor que la de los retornos diarios del mismo índice. El proceso de agregación efectivamente "lima" parte de la irregularidad.

Lo que el teorema NO dice

Aquí llega la parte que es fácil malinterpretar, y por eso merece subrayarse con cuidado.

El teorema del límite central habla de la distribución de la suma o el promedio de muchas variables, no de cada variable individual por separado.

Que el retorno anual, la suma de 252 días, se parezca más a una normal no implica en absoluto que el retorno de un día cualquiera dejará de tener colas gordas.

El día de mañana sigue siendo una única observación, no un promedio de cientos de observaciones. Y su distribución individual sigue siendo la que es: con colas más pesadas que las de una normal comparable.

El teorema mejora el comportamiento agregado a largo plazo. No cura, ni tiene por qué curar, el comportamiento de cada evento individual a corto plazo. Y ahí es precisamente donde vive buena parte del riesgo de cola que interesa a un trader.

Dos condiciones que los mercados cumplen a medias

Hay, además, dos condiciones del teorema que los mercados financieros cumplen solo de forma parcial. Eso limita cuánto se puede confiar en la convergencia hacia la normal, incluso a horizontes largos.

La primera es la independencia. El teorema asume que las variables que sumas no están correlacionadas entre sí.

Pero los retornos financieros diarios muestran un fenómeno bien documentado llamado agrupamiento de volatilidad (volatility clustering): los días de alta volatilidad tienden a agruparse con otros días de alta volatilidad, y los días tranquilos con otros días tranquilos. Es una forma de dependencia entre observaciones consecutivas que el teorema, en su versión más simple, no contempla.

La segunda es la varianza finita. Si la verdadera distribución subyacente tuviera colas extremadamente pesadas, la propia noción de varianza podría volverse inestable.

En ese caso, la convergencia hacia la normal se ralentiza, o directamente no se produce con la limpieza que el teorema promete en su forma idealizada. Y no es un caso puramente teórico: se trata de colas más pesadas que lo que suele observarse en la práctica, pero presentes en algunos mercados o activos concretos.

La consecuencia práctica, en dos direcciones

La consecuencia práctica de todo esto es doble.

Por un lado, el teorema del límite central explica de forma legítima por qué asumir aproximada normalidad para horizontes largos es una simplificación razonable y no una fantasía sin fundamento. La rentabilidad anual de una cartera diversificada sería el ejemplo típico. Hay una razón matemática sólida detrás.

Por otro lado, ese mismo teorema no ofrece ninguna coartada para ignorar las colas gordas en decisiones que dependen del corto plazo:

• El tamaño de una posición para mañana.
• El margen necesario para sobrevivir a la próxima sesión.
• El nivel de un stop-loss.

En todas esas decisiones, la unidad relevante es el día individual, no el promedio de un año entero de días.

No hay contradicción

En definitiva, el teorema del límite central y las colas gordas del módulo 3 no se contradicen. Describen fenómenos en escalas de tiempo distintas y conviven perfectamente.

Uno explica por qué lo agregado tiende a suavizarse. El otro recuerda que lo individual, especialmente en los extremos, sigue siendo mucho más salvaje de lo que la campana de Gauss quisiera admitir.