2. La matriz de covarianzas

Nivel 7: Álgebra lineal y optimización de carteras

Dos activos que por separado son cualquier cosa menos seguros pueden combinarse en una cartera casi sin riesgo.

Para entender por qué, y para poder calcularlo, hace falta un objeto nuevo. En el curso de teoría ya viste la correlación entre dos activos: un número entre -1 y 1 que resume si se mueven juntos, en direcciones opuestas, o sin relación aparente.

De un número suelto a una tabla completa

La matriz de covarianzas es la generalización natural de esa idea cuando tienes más de dos activos.

En vez de un único número, necesitas una tabla completa. Esa tabla recoge cómo se mueve cada activo respecto a todos los demás, a la vez.

Cómo se lee la tabla por dentro

Imagina una cartera de 3 activos, para la cual la matriz de covarianzas es una tabla de 3 filas por 3 columnas.

• La casilla de la fila 1, columna 1 es la varianza del activo 1, es decir, su propia covarianza consigo mismo.
• La de la fila 2, columna 2 es la varianza del activo 2, y así con toda la diagonal.
• Fuera de la diagonal, la casilla fila 1-columna 2 es la covarianza entre el activo 1 y el activo 2.

Esa casilla de fuera de la diagonal es una versión sin normalizar de la correlación que ya conoces. La covarianza dividida entre el producto de las dos volatilidades es, exactamente, la correlación.

Y hay una propiedad de esta tabla que conviene retener desde el principio, porque se cumple siempre. Por construcción, esta tabla es simétrica: la covarianza entre el activo 1 y el 2 es la misma que entre el 2 y el 1.

Por qué una lista de correlaciones no basta

Aquí está el motivo por el que esta tabla, y no una lista de correlaciones dos a dos, es la herramienta correcta.

La varianza de una cartera no es la media ponderada de las varianzas individuales, igual que la rentabilidad de la cartera tampoco era la media simple de las rentabilidades.

Hay que sumar la contribución de cada par posible de activos. Para cada uno de esos pares intervienen tres cosas:

• Cuánto pesa el activo i.
• Cuánto pesa el activo j.
• Cuánto se mueven juntos i y j.

Y eso hay que hacerlo para todos los pares posibles, incluyendo cada activo consigo mismo.

Con 3 activos ya hay varios términos distintos que combinar. Con 500 activos, el número de covarianzas cruzadas distintas es 500 por 499 dividido entre 2, es decir, 124.750 pares.

Ese es exactamente el motivo por el que un ordenador es imprescindible en cuanto sales de un puñado de activos. No es que la fórmula sea conceptualmente difícil, es que hay demasiados números que combinar a mano.

Por qué diversificar reduce el riesgo, con números

Esta tabla también explica algo que el curso de teoría solo pudo mostrarte de forma intuitiva.

Supón dos activos con correlación de -1, es decir, que se mueven exactamente en direcciones opuestas. Entonces existe una combinación concreta de pesos que anula el riesgo de la cartera casi por completo, aunque ninguno de los dos activos por separado sea seguro.

Esa combinación es inversamente proporcional a sus volatilidades, y solo resulta ser 50/50 cuando ambos activos son igual de volátiles.

Es un caso extremo y poco realista en mercados reales, pero deja clara la mecánica. El riesgo de la cartera depende de dos cosas a la vez:

• De cuánto se mueve cada activo por separado.
• De cuánto se mueven juntos.

Ese segundo efecto lo captura exclusivamente la matriz de covarianzas.

Cuando hay muchos activos, manda lo de fuera de la diagonal

Cuando el número de activos crece, pasa algo que conviene interiorizar. Los términos de fuera de la diagonal empiezan a pesar mucho más en el resultado final que los de la diagonal, simplemente porque hay muchísimos más.

Con 500 activos hay 500 varianzas pero 124.750 covarianzas cruzadas.

Esa es la razón matemática, y no solo intuitiva, de un hecho conocido. En una cartera muy diversificada, lo que más determina el riesgo total ya no es lo volátil que sea cada acción por separado, sino la correlación media entre todas ellas.

Piensa en una fase de mercado en la que las correlaciones suben y todo cae a la vez, como en marzo de 2020. El riesgo de una cartera de 500 activos se dispara aunque ninguna acción individual se haya vuelto más volátil, porque lo que ha cambiado es la matriz completa, no la diagonal.

La matriz no se conoce: se estima

Por último, y antes de pasar a los ejemplos con cifras, vale la pena señalar una sutileza incómoda. Esta matriz no se conoce, se estima a partir de datos históricos.

Y cuantos más activos metes en la cartera, más casillas hay que estimar, con la misma cantidad limitada de datos históricos disponibles. Recuerda la cifra que ya has visto antes, que eran 124.750 solo para las covarianzas cruzadas de 500 activos.

Esa tensión es uno de los hilos centrales del resto del nivel, y tiene dos caras enfrentadas:

• Más activos, más diversificación potencial.
• Más activos, más parámetros que estimar con error.

Un ejemplo concreto con tres activos

Un ejemplo concreto ayuda a fijar la idea. Supón una matriz de covarianzas anualizada para tres activos, empezando por su diagonal:

• 0.04 para el activo A.
• 0.09 para el B.
• 0.01 para el C.

Eso corresponde a volatilidades del 20%, 30% y 10% respectivamente, porque la volatilidad es la raíz cuadrada de la varianza.

Fuera de la diagonal quedan las tres covarianzas cruzadas:

• Entre A y B es 0.018.
• Entre A y C es -0.002.
• Entre B y C es 0.003.

Con estos números ya tienes toda la información que necesita el paso siguiente, la optimización de Markowitz. Le basta para calcular el riesgo de cualquier combinación posible de pesos entre A, B y C, sin volver a mirar los datos históricos brutos.