3. Markowitz y la frontera eficiente
Nivel 7: Álgebra lineal y optimización de carteras
En 1952 Harry Markowitz publicó una idea que hoy parece obvia, y que entonces no lo era en absoluto.
Los inversores ya lo hacían de forma intuitiva, pero nadie lo había formalizado: no tiene sentido evaluar un activo aislado, sino cómo encaja dentro de una cartera completa.
De "diversificar bien" a un problema resoluble
Su aportación fue traducir esa intuición en un problema matemático concreto y resoluble.
Los ingredientes de partida son tres, y ya los conoces todos:
- Un conjunto de activos.
- Sus rentabilidades esperadas.
- Su matriz de covarianzas.
Con eso sobre la mesa, la pregunta es: ¿qué combinación de pesos maximiza la rentabilidad esperada para un nivel de riesgo dado?
O, de forma equivalente, ¿qué combinación minimiza el riesgo para una rentabilidad esperada dada? Las dos preguntas tienen la misma respuesta, y solo cambia qué variable fijas y cuál dejas libre.
La nube de todas las carteras posibles
La forma más intuitiva de entenderlo es geométrica, sin necesidad de tocar la maquinaria algebraica que hay detrás.
Imagina un gráfico con el riesgo, es decir, la volatilidad de la cartera, en el eje horizontal, y la rentabilidad esperada en el eje vertical. Cada punto de ese gráfico es una cartera posible, o sea, una combinación distinta de pesos entre tus activos.
Si calculas miles de combinaciones de pesos al azar y las representas todas, obtienes una nube de puntos con una forma característica. Se parece a una media luna, o a la punta de una bala apuntando hacia la izquierda.
La frontera eficiente es el borde de esa nube
El borde superior izquierdo de esa nube es la frontera eficiente. Ese borde reúne exactamente las mismas carteras miradas de dos maneras:
- Las que, para cada nivel de riesgo, ofrecen la mayor rentabilidad esperada posible.
- Las que, para cada nivel de rentabilidad, ofrecen el menor riesgo posible.
De ahí sale la consecuencia importante. Cualquier cartera que no esté sobre ese borde es, por definición, mejorable: existe otra combinación de pesos que da lo mismo con menos riesgo, o más con el mismo riesgo.
El punto más a la izquierda de todos
Hay un punto de la nube que merece nombre propio. Es el punto más a la izquierda de toda la nube, donde el riesgo es mínimo posible sin importar la rentabilidad, y se llama cartera de varianza mínima global.
Tiene una particularidad que resultará decisiva más adelante. Se calcula usando solo la matriz de covarianzas, sin necesidad de estimar rentabilidades esperadas.
Eso la hace, como verás en un módulo posterior, más robusta que el resto de puntos de la frontera frente al error de estimación.
Por qué la nube se curva hacia la izquierda
Ya viste en el curso de teoría por qué combinar dos activos con correlación inferior a 1 reduce el riesgo. Lo reduce por debajo de la simple media ponderada de sus riesgos individuales.
Geométricamente, ese efecto es precisamente lo que curva la nube de carteras hacia la izquierda.
Dibuja solo las combinaciones entre dos activos concretos y compruébalo. En vez de una línea recta uniendo sus dos puntos individuales, obtienes una curva que se dobla hacia la izquierda, tanto más cuanto menor sea la correlación entre ambos.
Con muchos activos a la vez ocurre lo mismo, pero multiplicado por todos los pares posibles de la matriz de covarianzas. Ese es el efecto que da forma a toda la nube y a su frontera.
La cartera tangente y la línea de mercado de capitales
Hay un punto especialmente importante en la frontera, aunque no sea ni el de menor riesgo ni ninguno arbitrario. Es la cartera tangente, que combinada con el activo libre de riesgo, letras del Tesoro en la práctica, maximiza el Sharpe ratio que ya conoces del curso de teoría.
Dibuja una línea recta desde el punto del activo libre de riesgo hasta el punto donde esa línea es tangente a la frontera eficiente. Lo que obtienes es la llamada línea de mercado de capitales.
Combinar el activo libre de riesgo con esa cartera tangente en distintas proporciones te mueve a lo largo de esa línea recta, no de la curva. Consigues distintos niveles de riesgo y rentabilidad, pero manteniendo siempre el mismo Sharpe ratio, el más alto disponible en todo el universo de activos.
Es un resultado importante porque separa el problema en dos decisiones independientes:
- Qué combinación de activos de riesgo mantener, que es siempre la cartera tangente, para cualquier inversor.
- Cuánto peso poner en esa combinación frente al efectivo o la deuda libre de riesgo, que sí depende de la tolerancia al riesgo de cada inversor.
La varianza mínima no es "la mejor" cartera
Conviene no confundir la cartera de varianza mínima con "la mejor" cartera sin más. Es la mejor solo para quien no tolera ningún riesgo adicional a cambio de más rentabilidad.
La mayoría de inversores tienen distintos niveles de tolerancia al riesgo. Por eso elegirán otros puntos de la frontera, más a la derecha, aceptando más volatilidad a cambio de mayor rentabilidad esperada.
Y aquí está el matiz final sobre qué garantiza realmente todo esto. Markowitz no te dice qué punto exacto es el correcto para ti, sino algo distinto y más modesto.
Te garantiza que, sea cual sea el riesgo que estés dispuesto a asumir, existe un punto de la frontera que te da la mayor rentabilidad esperada posible para ese riesgo. Y te garantiza también que cualquier cartera fuera de la frontera es, sencillamente, una elección peor que se podría mejorar sin asumir más riesgo.