1. Vectores y matrices explicados con carteras
Nivel 7: Álgebra lineal y optimización de carteras
Cuando calculas cuánto ganó tu cartera el mes pasado, ya estás haciendo álgebra lineal sin saberlo.
Nadie te lo ha contado con ese nombre, pero la operación es exactamente esa. Para entender por qué la optimización de carteras necesita álgebra lineal, conviene empezar por ahí: por algo que ya conoces bajo un nombre distinto.
Tu cartera ya es un vector
Un vector no es más que una lista ordenada de números. Y una cartera de varios activos ya es, sin que nadie te lo haya dicho hasta ahora, exactamente eso.
Si tienes una cartera con Apple al 40%, Microsoft al 30%, Johnson & Johnson al 20% y Exxon al 10%, esa cartera es el vector (0.40, 0.30, 0.20, 0.10).
El orden importa: la primera posición siempre corresponde a Apple, la segunda a Microsoft, y así sucesivamente. Cambiar cualquiera de esos números, aunque sea uno solo, te lleva a una cartera distinta, es decir, a otro vector.
Cuántas dimensiones tiene una cartera
La dimensión de ese vector, es decir, cuántos números contiene, es simplemente el número de activos en cartera.
- Una cartera de 4 acciones vive en un espacio de 4 dimensiones.
- Una que replica las 500 empresas del S&P 500 vive en un espacio de 500 dimensiones.
No hace falta visualizar 500 dimensiones, porque nadie puede, ni falta que hace. El álgebra funciona igual de bien conceptualmente aunque la geometría deje de ser dibujable a partir de la tercera dimensión.
La regla que suelen cumplir los pesos
Ahí está la primera regla que suele cumplir un vector de pesos. Si no hay apalancamiento ni posiciones en efectivo sin invertir, sus componentes deben sumar 1 (o 100%, es lo mismo).
Si permites posiciones cortas, algún componente puede ser negativo, porque estás apostando a que ese activo caiga, y el vector sigue siendo perfectamente válido.
El álgebra no exige que los pesos sean positivos: esa es una restricción que añade el inversor, no las matemáticas.
La rentabilidad no es la media simple
Ahora viene la operación que de verdad importa, que es calcular la rentabilidad de la cartera.
Supón que en un mes Apple sube un 5%, Microsoft cae un 2%, J&J sube un 1% y Exxon sube un 3%. La rentabilidad de la cartera NO es la media simple de esos cuatro números, que sería 1.75%.
Es la media ponderada por los pesos: 0.40 veces 5, más 0.30 veces menos 2, más 0.20 veces 1, más 0.10 veces 3. Eso da 2 menos 0.6 más 0.2 más 0.3, es decir, 1.9%.
Esa operación tiene nombre propio en álgebra lineal. Multiplicar cada componente de un vector por el componente correspondiente de otro vector, y sumar todos los resultados, se llama producto escalar, o producto punto, entre el vector de pesos y el vector de rentabilidades.
Cada vez que calculas cuánto ganó tu cartera, estás haciendo álgebra lineal sin saberlo.
Rebalancear es moverte dentro del mismo espacio
Rebalancear una cartera, es decir, pasar de 50/50 entre dos activos a, digamos, 70/30, es en este lenguaje moverte de un punto a otro dentro del espacio de todas las carteras posibles.
Fíjate bien en lo que no cambia cuando haces ese movimiento dentro del espacio:
- No cambias el número de activos, porque la dimensión sigue siendo 2.
- No tocas cómo se mueven esos activos entre sí, porque eso vive en otro objeto: la matriz de covarianzas, que es el tema del próximo módulo.
Simplemente eliges otro vector de pesos dentro del mismo espacio.
Multiplicar todo el vector por un número equivale a apalancar la cartera. Por ejemplo, multiplicar (0.5, 0.5) por 1.5 para obtener (0.75, 0.75), sumando 1.5 en vez de 1: mismo reparto relativo entre activos, pero mayor exposición total.
Comparar dos carteras es una resta
Esta forma de pensar también sirve para comparar carteras entre sí.
Supón que tu cartera actual es (0.40, 0.30, 0.20, 0.10) y que tu cartera objetivo tras un rebalanceo es (0.25, 0.25, 0.25, 0.25), una repartición igual entre los cuatro activos.
La diferencia entre ambos vectores, componente a componente, te dice exactamente cuánto tienes que comprar o vender de cada uno:
- Menos 0.15 en Apple.
- Menos 0.05 en Microsoft.
- Más 0.05 en J&J.
- Más 0.15 en Exxon.
No es una metáfora, es una resta de vectores, y es literalmente lo que hace por detrás cualquier herramienta de rebalanceo automático.
De los vectores a las matrices
Una matriz es simplemente una tabla de números organizada en filas y columnas, y puedes pensarla como varios vectores apilados.
Si guardas la rentabilidad diaria de tus 4 activos durante 252 días de mercado, tienes una tabla de 252 filas, una por día, y 4 columnas, una por activo. En conjunto, todo eso es una matriz de 252 por 4.
De esa tabla de datos brutos es de donde, en el módulo siguiente, se extrae la matriz de covarianzas, que resume de un vistazo cómo se mueven todos los pares de activos a la vez.
La razón por la que este lenguaje importa no es estética, sino puramente práctica.
En cuanto tienes más de dos o tres activos, es la única forma manejable de describir con precisión qué es una cartera. También de calcular cómo se obtiene su rentabilidad y, en los módulos siguientes, cómo se mide y se optimiza su riesgo.