3. Regresión lineal simple: encontrar la mejor recta

Nivel 4: Correlación, regresión y el mito de la causalidad

El sector subió un 2%. El modelo predijo un 2.65% para la aerolínea. La aerolínea hizo un 1.9%.

Ese hueco de 0.75 puntos porcentuales no es un fallo del método. Es una de las piezas de información más útiles que produce una regresión.

De describir a estimar

La correlación te dice si dos variables se mueven juntas y con qué intensidad. Lo que no te da es una herramienta para estimar una a partir de la otra.

Eso es exactamente lo que hace la regresión lineal simple. Busca la recta que mejor resume cómo se comporta una variable —la dependiente— en función de otra —la independiente—, de modo que puedas usarla para describir, y en cierta medida predecir, el comportamiento conjunto.

Los dos números que definen la recta

Toma un ejemplo concreto. Quieres describir cómo se mueve el rendimiento diario de una aerolínea en función del rendimiento diario del índice del sector transporte, usando 60 sesiones de datos.

La recta que busca la regresión tiene esta forma, en palabras:

rendimiento estimado de la acción = un valor base (llamado intercepto) más una pendiente multiplicada por el rendimiento del sector ese mismo día.

El intercepto y la pendiente son los dos únicos números que definen por completo esa recta.

Mínimos cuadrados

Para encontrar esa recta concreta entre todas las posibles, la regresión usa el criterio de mínimos cuadrados.

Para cada uno de los 60 días, la recta predice un rendimiento. Ese valor predicho casi nunca coincide exactamente con el rendimiento real observado, y la diferencia entre ambos se llama residuo, o error.

La regresión elige, de entre todas las rectas imaginables, la que hace que la suma de esos residuos elevados al cuadrado sea la menor posible.

¿Por qué elevar al cuadrado en lugar de sumar los errores tal cual? Por tres razones:

• Si sumaras los errores sin elevarlos al cuadrado, los positivos y los negativos se cancelarían entre sí, dando una falsa sensación de buen ajuste incluso con una recta pésima.
• Elevar al cuadrado penaliza mucho más los errores grandes que los pequeños, lo que empuja a la recta a evitar sobre todo las desviaciones enormes.
• Resulta matemáticamente más manejable de calcular.

La recta, con números

Veamos un ejemplo numérico. Supón que la regresión, aplicada a esas 60 sesiones, arroja esta recta:

rendimiento estimado de la aerolínea = 0.05% + 1.3 veces el rendimiento del sector.

Léela en tres escenarios:

• Un día en que el sector no se mueve (0%), el modelo predice que la aerolínea rinde en promedio 0.05%. Ese pequeño valor base es la parte del rendimiento que el modelo atribuye a la propia acción, al margen de lo que haga el sector.
• Un día en que el sector sube 2%, el modelo predice 0.05% + 1.3 por 2%, es decir, 2.65%.
• Si ese día la acción rindió en realidad 1.9%, el residuo de esa sesión es 1.9% menos 2.65%, es decir, -0.75 puntos porcentuales.

Ese residuo es la parte del movimiento de ese día que el modelo no logró explicar.

Los residuos son información

Es importante entender que la recta ajustada casi nunca pasa exactamente por todos los puntos de datos. Ni falta que le hace: su objetivo no es memorizar la muestra, sino resumir la tendencia general de la relación.

Y lo que queda fuera de la recta, los residuos, no es un fallo del método. Es información.

Es la parte del comportamiento de la acción que responde a factores propios de la empresa, noticias específicas o simple ruido, y no al movimiento del sector.

Mira el gráfico antes de creerte la recta

Una última cautela. La regresión lineal simple asume que la relación entre las dos variables es razonablemente recta.

Si al representar los puntos en un gráfico la nube dibuja una curva pronunciada, el procedimiento de mínimos cuadrados igualmente te entregará "la mejor recta posible" en términos matemáticos.

Pero esa recta puede describir mal la relación real subyacente, y llevar a conclusiones equivocadas si se usa para predecir.

Antes de confiar en una regresión, conviene mirar el gráfico de dispersión, no solo el número final.