5. Varianza y desviación estándar: la aritmética exacta de la volatilidad

Nivel 1: Probabilidad: el lenguaje de la incertidumbre

Un día de -5% no pesa cinco veces más que un día de -1% en el cálculo de la volatilidad. Pesa veinticinco veces más.

Ese detalle no es un capricho de la fórmula. Es la razón de que la volatilidad reaccione tanto a unos pocos días extremos.

El curso de teoría de mercados presentó la volatilidad de forma intuitiva, como cuánto se mueven los precios de un activo. Este módulo formaliza esa idea con precisión.

Qué es exactamente la varianza

La varianza de una variable aleatoria se define como el promedio de las desviaciones al cuadrado entre cada valor posible y la media —la esperanza— de esa variable.

Cada desviación al cuadrado se pondera por su probabilidad, exactamente igual que se hizo al calcular la esperanza en el módulo anterior.

Por qué se elevan al cuadrado

Conviene entender por qué se elevan al cuadrado las desviaciones en lugar de promediarlas directamente.

Si se calculan las diferencias entre cada valor y la media, y se promedian tal cual, el resultado es siempre cero. Por definición de la media, las desviaciones positivas y negativas se cancelan exactamente entre sí.

Elevar al cuadrado hace dos cosas a la vez:

• Elimina el signo, evitando esa cancelación.
• Otorga un peso proporcionalmente mayor a las desviaciones grandes que a las pequeñas.

Y ese segundo efecto es más fuerte de lo que parece. Una caída del 5% en un día contribuye 25 veces más a la varianza que una caída del 1%, no simplemente 5 veces más. La razón es que 5 al cuadrado es 25 y 1 al cuadrado es 1.

De ahí se sigue algo que conviene recordar: la varianza es especialmente sensible a los movimientos extremos, no solo a la dispersión típica del día a día.

De la varianza a la desviación estándar

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza.

El motivo de ese paso extra son las unidades. Elevar al cuadrado deja las unidades originales elevadas al cuadrado también, por ejemplo porcentaje al cuadrado, un concepto sin interpretación intuitiva directa.

Al tomar la raíz cuadrada, el resultado vuelve a expresarse en las unidades originales de la variable, por ejemplo en porcentaje de rendimiento.

Por eso es la desviación estándar, y no la varianza en sí misma, la cifra que se cita habitualmente en la práctica cuando se habla de volatilidad.

El cálculo, paso a paso

Un ejemplo numérico ayuda a fijar el procedimiento. Supóngase una acción con estos cinco rendimientos diarios: +2%, -1%, 0%, -3%, +2%.

• La media es (2-1+0-3+2)/5 = 0/5 = 0%.
• Las desviaciones respecto a la media son entonces 2, -1, 0, -3 y 2.
• Al elevarlas al cuadrado: 4, 1, 0, 9 y 4, que suman 18.
• La varianza es 18/5 = 3,6, en unidades de porcentaje al cuadrado.
• La desviación estándar es la raíz cuadrada de 3,6, aproximadamente 1,90%.

Anualizar: por qué 16 y no 252

Existe una convención muy extendida para anualizar la desviación estándar diaria. Conviene entender exactamente por qué funciona así y no de forma más ingenua.

La clave está en una frase: cuando los rendimientos diarios son razonablemente independientes entre sí, son las varianzas las que se suman a lo largo de los días, no las desviaciones estándar.

Por eso, para pasar de una desviación estándar diaria a una anual, el procedimiento es:

• Multiplicar primero la varianza diaria por el número aproximado de sesiones al año, unas 252.
• Después tomar la raíz cuadrada del resultado.

Eso equivale matemáticamente a multiplicar directamente la desviación estándar diaria por la raíz cuadrada de 252, aproximadamente 15,87.

Es exactamente por eso que las cifras de volatilidad anualizada que se ven habitualmente son del orden de 16 veces la volatilidad diaria, no 252 veces.

Los dos supuestos del atajo

Este atajo de anualización, sin embargo, arrastra dos supuestos que conviene tener siempre presentes:

• Que los rendimientos de un día a otro son razonablemente independientes. Es el tema exacto del módulo siguiente.
• Que el nivel de volatilidad se mantiene relativamente estable durante todo el periodo considerado.

Ambos supuestos se incumplen con frecuencia en los mercados reales. La volatilidad se agrupa en el tiempo y cambia de régimen de forma abrupta.

De ahí una advertencia práctica: una cifra de volatilidad anualizada calculada sobre un periodo que incluye un cambio de régimen brusco puede resultar bastante engañosa.

Desviación estándar y riesgo

La desviación estándar conecta directamente con la noción de riesgo. Cuanto mayor es, más dispersos están los resultados posibles alrededor de la media.

Dos estrategias pueden tener exactamente la misma esperanza matemática positiva, la del módulo anterior, y aun así una desviación estándar muy distinta.

En igualdad de esperanza, la de menor desviación estándar suele ser preferible. Sus resultados son más predecibles, y es menor el riesgo de atravesar una racha de pérdidas dañina antes de que el promedio favorable se manifieste.

En definitiva, la desviación estándar es, literalmente, la versión formal y calculable de la palabra volatilidad usada de forma intuitiva hasta ahora. Cada vez que el curso de teoría de mercados afirmaba que una acción es más volátil que otra, este módulo proporciona la aritmética exacta que sustenta esa afirmación, número por número.