4. Esperanza matemática: la base rigurosa del expectancy
Nivel 1: Probabilidad: el lenguaje de la incertidumbre
Dos estrategias sobre la mesa. Una acierta el 40% de las veces. La otra acierta el 80%.
La primera gana dinero. La segunda lo pierde.
No es una paradoja ni un caso rebuscado. Es aritmética, y este módulo la hace explícita.
Una media ponderada por probabilidad
La esperanza matemática, o valor esperado, de una variable aleatoria se calcula en tres pasos:
- Tomar cada valor posible que puede tomar la variable.
- Multiplicarlo por su probabilidad asociada.
- Sumar todos esos productos.
Es una media ponderada por probabilidad, no una media simple.
Y tampoco es una predicción de lo que va a ocurrir en el siguiente resultado individual. Es el promedio que se obtendría si la misma situación incierta se repitiera un número muy grande de veces, bajo condiciones estables.
El expectancy del trading es esto mismo
Esta definición formaliza, con precisión matemática, el concepto de expectancy que ya se usa de manera informal en el mundo del trading.
La esperanza matemática de una operación se calcula así: la probabilidad de ganar multiplicada por el tamaño medio de las ganancias, menos la probabilidad de perder multiplicada por el tamaño medio de las pérdidas.
No es más que aplicar la fórmula general de la esperanza a la variable aleatoria resultado de una operación. En su versión más simple, esa variable toma dos valores posibles: una ganancia media con cierta probabilidad, o una pérdida media con la probabilidad complementaria.
Acertar el 40% y ganar dinero
Un primer ejemplo numérico deja esto muy claro. Una estrategia acierta el 40% de sus operaciones, con una ganancia media de 300$ cuando acierta y una pérdida media de 120$ cuando falla.
Su esperanza matemática es 0,40×300 menos 0,60×120. Es decir, 120 menos 72, igual a +48$ por operación.
La estrategia gana dinero en promedio pese a perder en la mayoría de sus operaciones. El motivo es que la asimetría entre el tamaño de las ganancias y el de las pérdidas compensa con creces la baja tasa de acierto.
Esta es exactamente la lógica matemática que sostiene a las estrategias de tendencia o momentum: muchas pérdidas pequeñas, compensadas por pocas ganancias grandes.
Acertar el 80% y perderlo
Un segundo ejemplo, en sentido contrario, es igual de instructivo. Una estrategia acierta el 80% de sus operaciones, con una ganancia media de solo 50$ y una pérdida media de 220$ cuando falla.
Su esperanza matemática es 0,80×50 menos 0,20×220. Es decir, 40 menos 44, igual a -4$ por operación.
Pese a ganar en la gran mayoría de las ocasiones, la estrategia pierde dinero en promedio. Las pocas pérdidas son desproporcionadamente grandes frente a las ganancias habituales.
Aquí está la base matemática precisa de una idea incómoda: una tasa de acierto alta no garantiza en absoluto una estrategia rentable. El curso de teoría de mercados solo pudo describirla de forma cualitativa, al hablar del riesgo de estrategias de reversión mal gestionadas.
Un número por unidad, no un número suelto
La esperanza matemática es un valor por unidad: por operación, por dólar arriesgado. Debe interpretarse siempre junto con dos elementos adicionales:
- Cuántas veces se puede repetir razonablemente esa apuesta.
- Qué tamaño de posición se arriesga en cada repetición.
Una esperanza positiva calculada correctamente puede resultar inútil, o incluso ruinosa. Ocurre si el tamaño de las posiciones es tan grande que una racha de pérdidas normal —dentro de lo estadísticamente esperable— agota el capital antes de que el promedio favorable tenga ocasión de manifestarse.
Este vínculo entre esperanza y dispersión de resultados es precisamente lo que formaliza la varianza, en el módulo siguiente.
La esperanza se suma; la varianza no
Una propiedad matemática importante de la esperanza es que es aditiva.
La esperanza del resultado total de una cartera es simplemente la suma de las esperanzas de sus partes individuales, ponderada según el peso de cada posición. Y esto es cierto sin importar si esas partes están relacionadas entre sí o no.
Conviene subrayar este punto porque contrasta radicalmente con lo que ocurre con la varianza. La varianza no se comporta de forma tan simple cuando existe dependencia entre las partes, como se desarrollará en el módulo sobre independencia.
Lo que la esperanza no dice
Un error frecuente consiste en confundir la esperanza matemática por operación con la probabilidad de que la siguiente operación concreta sea ganadora.
Una estrategia con una esperanza claramente positiva puede perfectamente perder en cualquier operación individual sin que eso contradiga nada. La esperanza es un enunciado sobre el promedio a largo plazo, no sobre el resultado de un único intento.
Y ese promedio a largo plazo, conviene recordarlo, se calcula a partir de probabilidades y tamaños medios que a su vez son estimaciones obtenidas de datos históricos. Pueden dejar de ser válidas si las condiciones subyacentes del mercado cambian.
La esperanza matemática es, en definitiva, el número que separa un enfoque de trading rigurosamente diseñado de uno meramente esperanzado. Convierte la afirmación vaga de que algo funciona en una afirmación numérica concreta y verificable con datos: se puede poner a prueba, comparar entre estrategias y monitorizar en el tiempo para detectar si deja de cumplirse.