3. Variables aleatorias: cómo convertir el quizá en un número

Nivel 1: Probabilidad: el lenguaje de la incertidumbre

"La acción quizá suba." Con esa frase no se puede calcular absolutamente nada. Ni una rentabilidad esperada, ni un riesgo, ni un tamaño de posición.

Una variable aleatoria es el aparato que convierte esa frase en algo con lo que sí se puede operar.

Formalmente, es una regla que asigna un valor numérico a cada resultado posible de una situación incierta. No es el evento en sí, sino su traducción a un número.

En lugar de decir de forma vaga que una acción quizá suba o quizá baje, obliga a definir dos cosas con precisión:

• Qué números puede tomar, por ejemplo el rendimiento porcentual del día siguiente.
• Con qué probabilidad se asocia cada uno de esos valores posibles.

Este paso, aparentemente sencillo, es el que permite empezar a calcular en lugar de solo opinar.

Dos familias: discretas y continuas

Una variable aleatoria discreta toma un conjunto contable de valores, normalmente resultado de contar algo. Dos ejemplos:

• El número de sesiones al alza dentro de un mes de 21 sesiones. Puede ser 0, 1, 2… hasta 21, pero nunca 7,3.
• El número de operaciones ganadoras entre las primeras 50 de una estrategia.

Una variable aleatoria continua, en cambio, puede tomar cualquier valor dentro de un rango. Suele ser el resultado de medir algo.

El rendimiento porcentual diario de una acción es el caso típico: puede ser 0,37%, -1,284% o cualquier otro número real dentro de un intervalo razonable.

Cómo se reparte la probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe cómo se reparte la probabilidad total entre todos sus valores posibles. Esa probabilidad total siempre debe sumar 1.

Para una variable discreta, esto puede escribirse literalmente como una lista de valores junto a su probabilidad asociada.

Para una variable continua hay un matiz importante. Como existen infinitos valores posibles dentro de cualquier intervalo, la probabilidad de que la variable tome un valor exacto es, en la práctica, cero.

Lo que sí tiene sentido calcular es otra cosa: la probabilidad de que el valor caiga dentro de un intervalo determinado, por ejemplo entre -1% y +1%.

Un ejemplo discreto que suma 100%

Se puede definir una variable aleatoria que clasifique el rendimiento diario de una acción en tres categorías:

• Baja más de un 1%.
• Se mantiene aproximadamente plana, entre -1% y +1%.
• Sube más de un 1%.

Y asignarles, de forma ilustrativa, probabilidades del 30%, 45% y 25% respectivamente.

La suma de esas tres probabilidades debe dar exactamente 100%. Si no lo hace, la variable aleatoria está mal definida, sin importar cuán razonables parezcan los números por separado.

El caso continuo: mira el histograma

En el caso continuo, la intuición se construye mejor con un histograma.

Si se registran miles de rendimientos diarios históricos sin agruparlos en categorías, y se representan en un gráfico de barras, se obtiene una aproximación empírica a la distribución de probabilidad continua subyacente.

Casi siempre se observa lo mismo. La mayoría de los días se concentran cerca de cero, con una frecuencia que va disminuyendo a medida que los rendimientos se alejan del centro hacia valores extremos, tanto positivos como negativos.

La campana, y las colas que no encajan

El modelo teórico más usado para aproximar este tipo de distribución continua es la distribución normal, con su clásica forma de campana.

Tiene una virtud llamativa: queda completamente definida con solo dos números, su media y su desviación estándar. Ambos son el objeto formal del siguiente módulo.

Ahora bien, los rendimientos reales de mercado suelen mostrar colas más pesadas que las que predice una distribución normal. Los movimientos extremos, tanto caídas como subidas bruscas, ocurren con más frecuencia de la que ese modelo teórico sugeriría.

A este exceso de peso en las colas se le llama formalmente exceso de curtosis. Es la base matemática precisa de algo que el curso de teoría de mercados mencionó de forma intuitiva al hablar del riesgo de caídas repentinas.

La variable no es una de sus realizaciones

Conviene distinguir con claridad entre la variable aleatoria en sí y una realización concreta de esa variable.

• La variable aleatoria es la regla general antes de observar el resultado: el rendimiento de mañana de una acción determinada, todavía desconocido.
• La realización es el número concreto ya observado: por ejemplo, +0,8% al cierre de esa sesión.

Confundir el comportamiento general de la variable aleatoria —su distribución completa— con una sola realización observada es una fuente habitual de errores de razonamiento estadístico. Algunos de ellos se analizan en detalle en el último módulo de este nivel.

El paso obligatorio antes de calcular nada

Convertir el quizá en una variable aleatoria bien definida, con su lista completa de valores posibles y sus probabilidades asociadas, no es un preliminar prescindible. Es el paso obligatorio antes de poder calcular cualquier otra cosa.

La esperanza matemática, la varianza, la correlación entre activos: todas esas herramientas se desarrollan en los módulos siguientes de este nivel. Y todas operan exclusivamente sobre variables aleatorias bien especificadas, nunca sobre sensaciones vagas acerca de hacia dónde podría ir el mercado.