5. El error de estimación
Nivel 7: Álgebra lineal y optimización de carteras
El economista Richard Michaud llamó al optimizador de Markowitz un "maximizador de errores", y la frase se ha vuelto célebre en gestión cuantitativa.
No es una exageración retórica, sino una descripción bastante literal de lo que ocurre cuando le das datos estimados.
El supuesto que nadie puede cumplir
Todo lo visto hasta ahora en el nivel asume, de forma implícita, que conoces con exactitud dos cosas:
- La rentabilidad esperada de cada activo.
- La matriz de covarianzas completa.
En la práctica no conoces ninguna de las dos, sino que las estimas a partir de datos históricos.
Y esa estimación viene con un margen de error que Markowitz, tal como se formuló originalmente, no tiene forma de reconocer ni de tratar con cautela.
Por qué el optimizador maximiza los errores
La idea de Michaud es que el optimizador no sabe distinguir entre dos situaciones muy distintas:
- Una rentabilidad esperada alta porque el activo realmente lo merece.
- Una rentabilidad esperada alta porque, por puro ruido estadístico en la muestra histórica usada, ese activo tuvo una racha buena.
En ambos casos, el optimizador le asigna un peso desproporcionado. Y lo hace precisamente porque su trabajo es explotar al máximo cualquier diferencia que vea en los datos que le has dado.
El optimizador no sabe cuáles de esas diferencias son señal y cuáles son ruido.
Las rentabilidades esperadas son lo peor estimado
El problema es más grave para las rentabilidades esperadas que para las volatilidades y correlaciones.
La razón tiene que ver con algo que ya viste en el nivel de estadística inferencial. El error estándar de una media estimada se reduce en proporción a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, no de forma lineal.
Piensa en lo que eso implica para una acción individual, cuya volatilidad típica ronda el 20-30% anual. Para estimar con precisión razonable su rentabilidad esperada anual harían falta décadas o incluso siglos de datos históricos estables, algo que ni existe ni sería útil aunque existiera.
La volatilidad y la correlación, en cambio, se estiman con relativa fiabilidad usando ventanas de datos mucho más cortas.
El motivo de esa diferencia es concreto. No dependen de acertar la dirección media del movimiento, solo de su magnitud y de su relación con otros activos, algo que se revela con muchas más observaciones útiles incluso dentro de una misma ventana temporal corta.
La asimetría incómoda, y el salto de una cartera a otra
Esta asimetría tiene una consecuencia práctica incómoda. La parte del problema de Markowitz que más contribuye a la inestabilidad de los resultados es precisamente la que peor se puede estimar, que son las rentabilidades esperadas.
Míralo con dos activos con correlación alta entre sí. Pequeñas diferencias en la rentabilidad esperada asignada a cada uno pueden hacer que el optimizador salte de una solución donde uno pesa el 90% y el otro el 0%, a la solución contraria. Y para provocar ese vuelco basta con un cambio mínimo en el input.
Esto no es un fallo del algoritmo: es una consecuencia matemática correcta de un problema mal condicionado por unos inputs poco fiables.
El optimizador está haciendo exactamente lo que se le pide. Lo que pasa es que lo que se le pide se basa en números que apenas conocemos con precisión.
El segundo problema: N frente a T
Hay un segundo problema, distinto pero relacionado, con la matriz de covarianzas. Aparece cuando el número de activos (N) se acerca o supera al número de observaciones históricas disponibles (T).
Imagina que intentas estimar una matriz de covarianzas de 500 activos usando solo 250 días de cotización, es decir, menos observaciones que activos a estimar. Ahí pasan dos cosas:
- La matriz resultante se vuelve estadísticamente inestable.
- En el caso extremo en que T sea menor que N, ni siquiera es matemáticamente invertible, una propiedad que el optimizador necesita para resolver el problema.
Y aunque tengas datos suficientes para que sea técnicamente invertible, con N y T de magnitud parecida la matriz estimada contiene mucho ruido.
Ese ruido no se queda dentro de la matriz. Se traduce en pesos de cartera extremos, poco intuitivos y muy inestables de un mes a otro, aunque el riesgo real subyacente apenas haya cambiado.
Las soluciones prácticas, ninguna perfecta
Frente a estos problemas, la gestión cuantitativa ha desarrollado varias familias de soluciones prácticas, y conviene subrayar que ninguna es perfecta.
El shrinkage consiste en "encoger" las estimaciones individuales hacia un valor más estable y menos ruidoso. Ese valor puede ser, por ejemplo, la media de todos los activos, o una estructura simplificada de la matriz. Se acepta así algo de sesgo a cambio de mucha menos varianza en la estimación.
Imponer restricciones adicionales a los pesos, como límites máximos por activo o por sector, actúa de facto como una forma de frenar al optimizador para que no lleve al extremo los errores de estimación.
El modelo Black-Litterman, que verás mencionado en la práctica profesional aunque no entraremos en su formulación aquí, combina tres fuentes distintas:
- Las estimaciones históricas.
- Las expectativas del mercado implícitas en los precios actuales.
- Las opiniones explícitas del gestor.
Su objetivo es evitar partir de rentabilidades esperadas basadas únicamente en el pasado.
Y, como verás en el módulo siguiente, hay una opción radical y sorprendentemente competitiva: dejar de estimar rentabilidades esperadas directamente.