2. La distribución normal: la campana de Gauss
Nivel 2: Distribuciones y por qué los mercados no son "normales"
Según la campana de Gauss, un movimiento de cinco o seis desviaciones estándar es tan improbable que prácticamente no debería ocurrir nunca a lo largo de toda la vida de un mercado.
Es una predicción fuerte. Y es exactamente el punto donde la teoría empieza a chocar con lo que de verdad ha pasado en los mercados financieros.
Antes de romperla, hay que entenderla bien.
Dos números y ya está
La distribución normal, también llamada gaussiana, es la curva en forma de campana simétrica que probablemente ya has visto en algún gráfico.
Su rasgo matemático más importante es que queda completamente determinada por solo dos parámetros:
- La media, que fija dónde está el centro de la campana.
- La desviación estándar, que fija cuán ancha o estrecha es.
Si te dicen que una variable sigue una distribución normal con media 0,05 % y desviación estándar 1,1 %, ya conoces la curva entera. No hace falta ningún dato adicional para dibujarla, calcular cualquier probabilidad sobre ella o compararla con otra normal.
Por qué eso es más raro de lo que parece
Esta es una propiedad fuerte y poco intuitiva a la vez.
Para la inmensa mayoría de distribuciones que existen, conocer la media y la desviación estándar NO es suficiente para reconstruir la curva completa. Podrían existir infinitas formas distintas —con más o menos asimetría, con colas más o menos pesadas— compartiendo exactamente esos dos números.
La normal es la excepción que hace que esos dos números basten. Por eso es tan cómoda de usar: reduce todo el problema de describir una distribución a estimar dos cantidades.
La regla 68-95-99,7
Una regla práctica asociada a la normal, conocida como regla empírica o regla 68-95-99,7, dice que:
- Aproximadamente el 68 % de las observaciones caen dentro de una desviación estándar de la media.
- El 95 % dentro de dos desviaciones estándar.
- El 99,7 % dentro de tres.
Aplicada al ejemplo anterior, con media 0,05 % y desviación estándar 1,1 %:
- El 68 % de los días tendría un retorno entre -1,05 % y 1,15 %.
- El 95 % entre -2,15 % y 2,25 %.
- El 99,7 % entre -3,25 % y 3,35 %.
Fuera de ese último rango, es decir a más de tres desviaciones estándar de la media, quedaría según la normal apenas un 0,3 % de los días: unos 3 ó 4 días de cada 1.250.
Por qué las finanzas se apoyan en ella
¿Por qué las finanzas se apoyan tanto en esta distribución concreta? Por tres razones que se refuerzan entre sí.
La primera es la tratabilidad matemática. Fórmulas centrales de la disciplina se vuelven simples y manejables cuando se asume que los retornos son normales: desde el modelo de valoración de opciones Black-Scholes hasta las fórmulas clásicas de varianza de una cartera o el cálculo paramétrico del Value at Risk. Sin esa asunción, muchas de ellas dejan de tener una solución cerrada y hay que recurrir a simulación numérica.
La segunda es histórica. Antes de que existieran ordenadores baratos, trabajar con tablas de la normal era la única forma práctica de hacer estos cálculos a mano.
La tercera es que hay un fondo de verdad detrás. El teorema del límite central, que verás en el módulo 6, explica por qué sumar o promediar muchas fuentes de aleatoriedad tiende a producir formas parecidas a la normal, incluso si las piezas individuales no lo son.
El z-score: comparar caídas entre activos distintos
Una herramienta útil que se deriva directamente de la normal es el z-score, o puntuación estandarizada. Mide a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra un valor concreto.
Tomemos dos acciones:
- La acción X tiene media 0 % y desviación estándar 1,5 %. Un día con retorno de -3 % está a dos desviaciones estándar por debajo de la media: z = -2.
- La acción Y tiene media 0,2 % y desviación estándar 2,5 %. Un día con retorno de -4 % está a (-4 - 0,2) / 2,5 = -1,68 desviaciones estándar, es decir z = -1,68.
Fíjate en lo que ocurre. Aunque -4 % es una caída nominal mayor que -3 %, en términos relativos a su propio comportamiento habitual la caída de X (z = -2) fue más extrema que la de Y (z = -1,68).
El z-score permite comparar sucesos entre activos con volatilidades muy distintas usando una misma escala.
Las colas que caen a plomo
Hay una característica de la normal que conviene tener presente desde ya, porque es la semilla del próximo módulo.
La curva se extiende, en teoría, desde menos infinito hasta más infinito. Pero la probabilidad de valores muy alejados de la media cae de forma extremadamente rápida —exponencial— cuanto más te alejas.
Esto significa que, bajo el supuesto de normalidad estricta, un movimiento de cinco o seis desviaciones estándar se considera tan astronómicamente improbable que "prácticamente no debería ocurrir nunca" a lo largo de toda la vida de un mercado.
Dónde aparece esto en la práctica
En la práctica de trading, la normalidad se asume de forma implícita o explícita en muchos sitios:
- Modelos de riesgo.
- Reglas de dimensionamiento de posiciones, del tipo "no arriesgues más de dos desviaciones estándar de tu capital en una operación".
- Modelos de valoración de derivados.
El motivo, otra vez, es que hace los cálculos manejables.
El problema lo desarrollarás en el siguiente módulo. Cuando la distribución real de los retornos no es tan bien comportada como la normal, esos presupuestos de riesgo resultan sistemáticamente optimistas: subestiman cuántas veces, y cuán fuerte, pueden ocurrir los movimientos extremos.