3. Errores estándar e intervalos de confianza

Nivel 7: Diagnóstico Estadístico Riguroso

La fórmula de la varianza del estimador MCO tiene un problema evidente: contiene la varianza verdadera del error, que es desconocida. La solución es estimarla a partir de los residuos, que sí observamos. La varianza residual muestral se calcula como la suma de los residuos al cuadrado dividida entre el número de observaciones menos el número de parámetros estimados:

# En palabras: sigma cuadrado estimado = RSS / (N - k)
#   RSS = suma de los residuos al cuadrado
#   N   = número de observaciones
#   k   = número de parámetros estimados (incluida la constante)
rss = (modelo.resid ** 2).sum()
n, k = modelo.nobs, len(modelo.params)
sigma2_estimada = rss / (n - k)

Se divide entre N menos k, y no entre N, porque al estimar k parámetros hemos consumido k grados de libertad: los residuos no son libres, están atados por las k restricciones que impone MCO. Este número es solo una estimación, pero es la pieza central de todo lo que viene después: sin él no hay estadísticos de contraste ni intervalos.

Como el estimador es una variable aleatoria, podemos medir su incertidumbre con su desviación típica. Las raíces cuadradas de los elementos de la diagonal de la matriz estimada de varianzas y covarianzas del estimador son los errores estándar de los coeficientes. Cuanto más pequeños, mejor: describen la precisión del estimador. Interpretados correctamente, son una medida de la variabilidad muestral: si recogiéramos varias muestras distintas, las estimaciones MCO serían distintas en cada una, y el error estándar cuantifica esa dispersión.

modelo.bse
# La b de bse se refiere al vector de coeficientes y se a standard errors.

Tres cosas reducen el error estándar de un coeficiente: más observaciones, más variación en el regresor y menor varianza residual. Y una lo agranda de forma silenciosa: la colinealidad entre regresores. Cuando dos factores se mueven casi igual, la regresión no puede repartir el mérito entre ellos y los errores estándar se disparan, aunque el ajuste global parezca excelente. Es un fallo clásico al montar modelos multifactor con factores redundantes.

Con el error estándar en la mano llegamos a la estimación por intervalos: un procedimiento para construir rangos de valores, llamados intervalos de confianza, en los que es probable que se encuentre el parámetro desconocido. La construcción de estos intervalos se apoya fuertemente en el supuesto UR.4 de normalidad, porque necesita conocer la distribución exacta del estimador.

modelo.conf_int()          # intervalos al 95% por defecto
modelo.conf_int(alpha=0.01)  # al 99%: más anchos

La lectura correcta de un intervalo del 95% no es que haya un 95% de probabilidad de que el parámetro esté dentro: el parámetro es fijo, lo aleatorio es el intervalo. La lectura correcta es que el procedimiento, repetido sobre muchas muestras, produce intervalos que contienen al parámetro verdadero el 95% de las veces.

En la práctica, un intervalo es mucho más informativo que un simple si es o no significativo. Si estimas la beta de un fondo frente al mercado y obtienes un intervalo que va de 0,87 a 1,34, has aprendido dos cosas a la vez: que la beta es claramente distinta de cero, pero también que tus datos son perfectamente compatibles con un fondo que replica el mercado (beta igual a 1) y con uno bastante más agresivo. Ese matiz desaparece si solo miras si hay tres asteriscos en la tabla.