4. El error estándar: más datos no es más certeza
Nivel 3: Estadística descriptiva e inferencial aplicada a mercados
Para tener la mitad de incertidumbre sobre una estimación no necesitas el doble de datos. Necesitas cuatro veces más.
Y para reducirla a una décima parte, cien veces más. Esa aritmética, que casi nadie hace, es la que decide cuándo un backtest de diez años no es realmente mejor que uno de siete.
Error estándar no es desviación estándar
El error estándar mide la variabilidad que cabría esperar en una estimación —por ejemplo, la media de rentabilidades de una muestra— si se repitiera el proceso de muestreo una y otra vez.
No hay que confundirlo con la desviación estándar de los propios datos:
- La desviación estándar describe cuánto varían las observaciones individuales entre sí. Por ejemplo, cuánto suben o bajan los retornos diarios de una acción.
- El error estándar describe cuánto variaría la media calculada de una muestra a otra, si repitieras el experimento de recoger nuevos datos.
Son dos preguntas distintas. Una es: ¿cuánto se mueve el activo día a día? La otra es: ¿cuán fiable es mi estimación de la rentabilidad media, dado el tamaño de la muestra que usé?
La ley de la raíz cuadrada
La relación entre ambos conceptos sigue una fórmula sencilla de expresar en palabras. El error estándar de la media es igual a la desviación estándar de los datos individuales, dividida entre la raíz cuadrada del número de observaciones de la muestra.
Esa fórmula contiene la idea central de este módulo. La incertidumbre de una estimación no se reduce en proporción directa a la cantidad de datos que añades, sino en proporción a la raíz cuadrada de esa cantidad.
A esto se le suele llamar la ley de la raíz cuadrada, y sus consecuencias prácticas son contraintuitivas.
Cuatro veces más datos para la mitad de duda
Concretamente:
- Para reducir el error estándar a la mitad, no hace falta el doble de datos. Hacen falta cuatro veces más.
- Para reducirlo a un tercio, hacen falta nueve veces más datos.
- Para reducirlo a una décima parte, se necesitan cien veces más observaciones.
Esto significa que el primer tramo de datos que recoges reduce la incertidumbre de forma drástica, pero cada tramo adicional aporta cada vez menos.
Hay, en definitiva, rendimientos claramente decrecientes en la reducción de incertidumbre a medida que acumulas más historia.
Las cuentas, con un 1.5% diario
Pongamos números concretos. Supón una serie de rentabilidades diarias con una desviación estándar del 1.5% diario.
Con 100 observaciones, unos 4-5 meses de trading, el error estándar de la media diaria es 1.5% dividido entre la raíz cuadrada de 100, que es 10. Es decir, 0.15%.
Ahora quieres reducir ese error estándar a la mitad, hasta 0.075%. No bastan 200 observaciones: hacen falta 400. La raíz cuadrada de 400 es 20, y 1.5% entre 20 es efectivamente 0.075%.
Traducido: pasar de 100 a 400 observaciones —multiplicar por 4 el tamaño de la muestra, casi año y medio adicional de datos— es lo que se necesita solo para reducir a la mitad la incertidumbre sobre la media diaria.
¿Y para reducirla a un cuarto de la original, hasta 0.0375%? Necesitaríamos 1.600 observaciones. Dieciséis veces más que las 100 iniciales.
El coste marginal de cada reducción adicional de incertidumbre crece muy deprisa, ya se mida en años de historia adicional que hay que conseguir o en tiempo de espera.
Dos complicaciones que empeoran el panorama
Esto ya explica por qué simplemente usar más datos no es la solución mágica que parece a primera vista. Pero en mercados financieros hay dos complicaciones más, que conectan con los dos módulos anteriores.
La primera es la independencia. La fórmula del error estándar, tal y como se ha presentado, asume observaciones independientes entre sí.
Las rentabilidades financieras suelen tener algo de autocorrelación —rachas de volatilidad que persisten, por ejemplo—, y eso reduce la cantidad de información nueva real que aporta cada observación adicional. Mil días de datos correlacionados no equivalen a mil observaciones verdaderamente independientes, sino a un número efectivo menor.
La segunda es el cambio de régimen, ya visto en el módulo sobre muestra y población. Si el proceso subyacente cambia con el tiempo, añadir datos muy antiguos no reduce la incertidumbre sobre el régimen actual.
Puede incluso introducir sesgo, al mezclar información de un contexto de mercado que ya no aplica. Y eso ocurre por mucho que, matemáticamente, más observaciones reduzcan el error estándar calculado de forma ingenua.
La conclusión práctica
La conclusión es doble.
Por un lado, cuando alguien presenta una estrategia respaldada por diez años de backtest como si eso zanjara cualquier duda, conviene recordar algo: la ganancia marginal de fiabilidad de pasar de, digamos, siete a diez años suele ser mucho menor de lo que la intuición sugiere. Y menor todavía si esos años adicionales no son independientes entre sí, o pertenecen a un régimen de mercado distinto.
Por otro lado, cuando el error estándar de una estimación sigue siendo grande pese a tener muchos años de datos, el problema casi nunca se resuelve esperando pacientemente a acumular todavía más. Toca hacerse otras preguntas:
- ¿La propia volatilidad de la señal es demasiado alta en relación con su tamaño?
- ¿El fenómeno que se intenta medir simplemente no es lo bastante estable como para estimarse con precisión, por mucha paciencia que se tenga?