7. Autocorrelación, normalidad y residuos estandarizados

Nivel 7: Diagnóstico Estadístico Riguroso

Autocorrelación de los residuos. Si la covarianza entre los errores de dos observaciones distintas no es cero, los errores están correlacionados. Es un problema frecuentísimo en series temporales, es decir, en casi todo lo que hacemos en trading. El caso clásico es un error autorregresivo de primer orden: el error de hoy es rho por el error de ayer más una perturbación nueva, con rho en valor absoluto menor que uno. La covarianza entre el error de hoy y el de ayer es entonces rho por la varianza del error, distinta de cero: el modelo tiene errores serialmente correlacionados.

Estimar por MCO ignorando la violación sigue dando estimadores insesgados y consistentes. Pero los estimadores son ineficientes y la varianza de los coeficientes queda sesgada, con lo que la inferencia deja de ser fiable; en la práctica, esto suele inflar la significatividad aparente de los factores. Ojo, además, con el diagnóstico causal: la autocorrelación de los errores puede ser síntoma de un modelo mal especificado (una dinámica que no has modelado) más que un problema estadístico aislado.

Contraste de Durbin-Watson. La nula es que los errores no están correlacionados serialmente; la alternativa, que siguen un proceso autorregresivo de primer orden. El estadístico se calcula como la suma de las diferencias al cuadrado entre residuos consecutivos, dividida entre la suma de los residuos al cuadrado. Su valor siempre queda entre 0 y 4: un valor de 2 indica ausencia de autocorrelación, valores claramente por debajo de 2 indican autocorrelación positiva y valores por encima, negativa.

Contraste de Breusch-Godfrey. Más flexible: cubre órdenes superiores de autocorrelación y sirve tanto si los regresores incluyen retardos de la dependiente como si no. Se ajusta una regresión auxiliar del residuo sobre las explicativas y sobre p retardos del propio residuo, y se contrasta que todos los coeficientes de esos retardos son cero. El estadístico es N menos p, multiplicado por el R cuadrado de la auxiliar, y sigue una chi cuadrado con p grados de libertad. Existe también el contraste de Ljung-Box para la misma nula.

from statsmodels.stats.stattools import durbin_watson
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_breusch_godfrey

print(durbin_watson(modelo.resid.values))
print(acorr_breusch_godfrey(modelo, nlags=2))

Normalidad de los residuos. Hace falta si queremos p-valores y valores críticos correctos al contrastar hipótesis sobre los coeficientes. La nula es que los residuos siguen una distribución normal. Entre los contrastes disponibles: Anderson-Darling, que compara la distribución empírica con la teórica; Shapiro-Wilk, que según simulaciones de Monte Carlo es el de mayor potencia, seguido de cerca por Anderson-Darling y por delante de Kolmogorov-Smirnov y Lilliefors; Kolmogorov-Smirnov, basado en la máxima distancia entre ambas distribuciones; Cramer-von Mises, alternativa al anterior; y Jarque-Bera, válido para muestras grandes, que combina asimetría y curtosis y se distribuye como una chi cuadrado con dos grados de libertad bajo la nula.

from statsmodels.stats.stattools import jarque_bera
print(jarque_bera(modelo.resid.values))

En rentabilidades financieras diarias, Jarque-Bera rechaza la normalidad casi siempre, por la curtosis elevada (colas gruesas). No es un fallo del análisis: es una propiedad conocida de los mercados. Lo sensato es apoyarse en resultados asintóticos con muestras grandes y en errores estándar robustos, no borrar los días malos.

Residuos estandarizados. Como los residuos pueden tener varianzas distintas, para compararlos entre observaciones dividimos cada residuo por una estimación de su propia desviación típica: la desviación típica estimada del error, multiplicada por la raíz cuadrada de uno menos el elemento diagonal correspondiente de la matriz de proyección. Son muy útiles para detectar atípicos: en general, cualquier observación con un residuo estandarizado mayor que 2 en valor absoluto merece examinarse con detalle.